El GEOGEBRA: UNA HERRAMIENTA PARA EL CLUB DE
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA.
Universidad Jean Piaget
Nicolás Bravo 400, M, Miguel Lerdo de Tejada # 599, Centro, 91700 Veracruz,
Ver.
ferferquimico@gmail.com
RESUMEN
En el Modelo Educativo
2017 hay un elemento que, en nuestro país es bastante novedoso: la “autonomía
curricular”, que corresponde a uno de los tres componentes que articulan los
nuevos planes y programas de estudios que responden a los intereses de sus
alumnos y de las propias fortalezas, capacidades y recursos institucionales y
que da respuesta a uno de los cinco ámbitos “profundización en la formación
académica”, entre ellas la nivelación de matemáticas.
En este sentido, el
software GeoGebra, se presenta como un candidato de extraordinario valor en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de matemáticas , ya que no solo permite
resolver de manera rápida y segura los más variados y diversos problemas que se
presentan en el aprendizaje de esta asignatura, sino también, porque es una
herramienta que permite estimular y desarrollar la creatividad de los alumnos
con dificultades de aprendizaje, al permitirle descubrir y construir los
conocimientos que son objeto de estudio. En este trabajo se ilustra cómo
utilizar esta herramienta tecnológica en la educación secundaria en los clubes
de nivelación de matemáticas, para reconocer, identificar y buscar nuevas
relaciones y dependencias entre entes matemáticos que constituyen objeto de
estudio en este nivel de enseñanza.
PALABRAS CLAVE: GeoGebra, nivelación de matemáticas, proceso
enseñanza-aprendizaje, secundaria.
1
INTRODUCCIÓN
En la Conferencia
Mundial sobre la Ciencia para el siglo XXI, auspiciada por la UNESCO y el
Consejo Internacional para la Ciencia, se declaraba: “Para que un país esté en
condiciones de atender a las necesidades fundamentales de su población, la
enseñanza de las ciencias y la tecnología es un imperativo estratégico. Como
parte de esa educación científica y tecnológica, los estudiantes deberían
aprender a resolver problemas concretos y a atender a las necesidades de la
sociedad, utilizando sus competencias y conocimientos científicos y
tecnológicos”. (Open Society Institute, 2002)
La utilización de las
competencias y conocimientos tecnológicos ha ocupado un lugar relevante en el
sistema de enseñanza, tanto para profesores como estudiantes, pues estos se
consideran como elementos mediadores en las relaciones: profesor–contenido,
estudiante–contenido y profesor–alumno (Bossolasco, 2013) . De especial importancia en la época
actual son estos conocimientos y competencias en el aprendizaje del estudiante.
En analogía con las concepciones de (Liátker, 1990) , en relación con la actividad y sus
componentes, podemos afirmar que en cualquier acto elemental del conocimiento
(aprendizaje) existe una tríada: sujeto–medio–contenido, donde el medio es el
núcleo de dicha tríada. En el aprendizaje de la matemática los medios tecnológicos,
tal y como señala (Álvarez, 2014) favorecen una penetración más profunda
en
el contenido que se estudia mediante una actividad matemática más experimental,
de búsqueda del conocimiento, de establecimiento de conexiones, pero además,
contribuyen a activar y motivar a los alumnos hacia el estudio. La introducción
de los medios tecnológicos conocidos como software (en particular, los software
libres, ) en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, pueden hacer
realidad una de las sugerencias didácticas ofrecidas por Puig Adam
(1959)-citado por (Rico & Sierra, 1994) en su Decálogo de la
Didáctica de la Matemática Media, referida a enseñar matemática guiando la
actividad descubridora del alumno, que más tarde denominara reinvención guiada
y que se erigiera en uno de los principios de la llamada Matemática Realista.
Estas sugerencias, encuentra en este software libre una forma de
materializarse, y más aún en los momentos actuales donde existe cierto consenso
en que la enseñanza no es un proceso de transmisión de conocimientos sino un
proceso de creación de las posibilidades para su construcción o descubrimiento (Freire, 2010) .
Características y
ventajas del GeoGebra que permiten su utilización en el proceso de enseñanza –
aprendizaje de la matemática en la secundaria.
El programa
GeoGebra fue ideado
por Markus Hohenwarter
en el marco
de su trabajo
de tesis de
Maestría, presentada en
el año 2002
en la Universidad
de Salzburgo, Austria.
Se esperaba lograr
un programa que reuniera las virtudes de los programas de
geometría dinámica, con las
de los sistemas
de cálculo simbólico.
El creador de
GeoGebra valoraba todos
estos recursos para
la enseñanza de
la matemática, pero
notaba que, para
el común de
los docentes, los
programas de cálculo
simbólico resultaban difíciles
de aprender, dada
la rigidez de
su sintaxis, y
que por esta
razón evitaban su
uso. Por otro lado, observaba que los docentes valoraban de mejor manera
los programas de geometría dinámica, ya que su interfaz facilitaba su
utilización. Así fue cómo surgió la idea
de crear GeoGebra. Rápidamente el
pro-grama fue ganando
popularidad en todo
el mundo y
un gran número de voluntarios se
fue sumando al proyecto desarrollando nuevas funcionalidades, materiales didácticos
interactivos, traduciendo tanto el software como su documentación a decenas de
idiomas, colaborando con nuevos usuarios a través del foro destinado para tal
fin. En la actualidad, existe una comunidad de docentes, investigadores,
desarrolladores de software, estudiantes y otras personas interesadas en la
temática, que se nuclean en los distintos Institutos GeoGebra locales que
articulan entre sí a través del Instituto GeoGebra Internacional.
El GeoGebra
es un software
interactivo de matemática
que reúne dinámicamente
geometría, álgebra y
cálculo. Hohenwarter (2014),
eligió GeoGebra con el atenuante
que el docente
pueda tener una
herramienta didáctica que ayude en el proceso de la educación, con
las consideraciones que el software a utilizar sea accesible, libre, de fácil
manipulación, que cuente con un proceso de instalación automático, sencillo y
que sea aceptado en todas las plataformas.
GeoGebra ofrece tres
perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una vista gráfica, una vista
numérica, vista algebraica y, además, una vista de hoja de cálculo.
Esta multiplicidad permite apreciar
los objetos matemáticos
en tres representaciones diferentes:
gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones),
algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de
cálculo. Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las
demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios
producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara
originalmente
En este trabajo se
exponen algunas ideas sobre la utilización del GeoGebra en las clases de
nivelación de matemáticas en la secundaria para propiciar, no solo, la búsqueda
de conocimientos matemáticos, sino también para que el alumno reconozca la
existencia de determinadas relaciones entre entes matemáticos que con su ayuda
puede descubrir.
2
DESARROLLO
Si bien es cierto que
los docentes reconocen las amplias posibilidades que ofrece el uso de este
software en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la matemática, no podemos
afirmar que su uso se haya generalizado y mucho menos que esto se haya
convertido en una práctica habitual en el desarrollo de las clases, lo que
obedece a múltiples razones, entre ellas se pueden mencionar: en primer lugar,
el miedo y la insuficiente preparación de los profesores para hacer uso de esta
herramienta tecnológica en sus clases, y en segundo lugar, el equipamiento
tecnológico con que actualmente cuentan los centros de enseñanza, el cual
resulta insuficiente y no siempre está en las mejores condiciones.
Al respecto, (Álvarez, 2014) , plantean: “Uno de
los asistentes matemáticos desarrollados como software libre más popular en los
últimos años es GeoGebra, un recurso escrito en Java y disponible en múltiples
plataformas. Este permite el dinamismo de las figuras geométricas, lo que
facilita analizar la variación o no de sus propiedades y relaciones al
modificarlas. Asimismo, posibilita examinar un objeto matemático en diferentes
registros de representación, por medio de la articulación de su interfaz
gráfica con una algebraica, una de cálculo simbólico y una hoja de cálculo, lo
que favorece el establecimiento de relaciones y una comprensión más profunda de
lo que se estudia”.(p. 27).
La versión 5 del
programa ofrece las siguientes vistas que se vinculan dinámicamente:
•Vista gráfica 2D:
En esta vista
se pueden realizar
construcciones geométricas utilizando
puntos, rectas, segmentos,
polígonos, cónicas, etc.
También se pueden
realizar operaciones tales
como intersección entre
objetos, traslaciones, rotaciones,
etc. Además, se
pueden graficar funciones,
curvas expresadas en
forma implícita, regiones
planas definidas mediante
desigualdades, etc.
•Vista algebraica: Allí se muestran las representaciones algebraicas
y numéricas de los objetos representados en las otras vistas del programa.
•Vista gráfica 3D: En esta vista se pueden representar, además de
los objetos mencionados para la vista gráfica 2D, planos, esferas, conos,
poliedros, funciones de dos variables.
•Vista CAS (Cálculo Simbólico): Permite realizar cálculos en forma
simbólica (derivadas, integrales, sistemas de ecuaciones, cálculo matricial,
etc.).
•Vista de Probabilidades y Estadística: Esta vista con-tiene representaciones de
diversas funciones de distribución
de probabilidad y permite calcular la probabilidad de
las mismas en
un determinado intervalo.
También ofrece una calculadora que permite realizar test estadísticos.
El GeoGebra cuenta con
un
manual de ayuda
elaborado por Markus Hohenwarter y Judith Hohenwarter (2009), el cual
ofrece indicaciones precisas para su utilización y que se puede obtener en el
sitio Web: www.geogebre.org. Varios
investigadores se han referido a las bondades de este software. ( González
Sosa, Gutiérrez, & Sandoval Murcia, 2017) consideran que
el GeoGebra contribuye
en muchos aspectos
a mejorar las
metodologías de enseñanza-aprendizaje y para la
solución de problemas
académicos proporcionando in-formación
valiosa en aspectos
gráficos, lo cual
genera interés en la aplicación de
esta herramienta para la resolución de problemas (García, 2014) considera que el
GeoGebra es un recurso tecnológico
que puede ser
utilizado en el
aprendizaje y que
debe ser incluido
en la planificación
de una clase
como material didáctico para el desarrollo de actividades. (Bonilla Guachamín, 2013) indica que gracias
a que GeoGebra
permite obtener el resultado del ejercicio de una función de forma rápida
y precisa, se
le comienza a
emplear después de sustentar la
teoría de cada concepto (recta, exponencial),
que se detallan
en el contenido
matemático para verificar
los resultados que
se obtienen al
resolver los ejercicios de forma
tradicional.
Márquez (1999),
indica que es
importante, que un conjunto
de técnicas dinámicas sea incluido como una marca competitiva en la práctica de
las matemáticas, pudiendo considerar a GeoGebra, ya que es un software libre y
de fácil manejo que permite trabajar contenidos de geometría, algebra y
análisis. (Del Pino, 2013) Le atribuye un lugar especial al
GeoGebra dentro del espectro de herramientas existentes para el aprendizaje,
por los motivos siguientes:
1. Es software
gratuito, libre y de código abierto. No les cuesta dinero a los centros
educativos y pueden modificar elementos para tener funcionalidades que no se
presentan en la versión estándar.
2. Es multiplataforma: funciona
tanto si emplean
una versión de
Linux propio de
la Comunidad Autónoma
como distintas versiones de Microsoft Windows.
3. Es fácil de
usar. Además, existen numerosas formaciones,
algunas de ellas gratuitas, impulsadas por colectivos de profesores y
universidades.
4. Es sencillo y a la
vez potente. Posee una hoja de cálculo y sus numerosas vistas permiten alternar
el uso de la aritmética, representaciones algebraicas, cálculo simbólico y
cálculo estadístico y probabilístico.
El GeoGebra tiene las mismas
ventajas de cualquier software educativo, pero sobresalen las siguientes:
•Se propician varios
tipos de aprendizaje que pueden ser individuales o grupales
•Fomenta la
creatividad: al retar
el aprendizaje, a
aplicar los conocimientos
y habilidades que
ya posibilita la
búsqueda y/o descubrimiento de
nuevos conocimientos.
•Facilita la
construcción de conocimiento por parte del alumno.
•Favorece el aprendizaje
autónomo y se ajusta al tiempo de que el aprendizaje puede disponer para esa
actividad.
•Permite el acceso al
conocimiento y a la participación de actividades.
•Incluyen elementos
para captar la atención del alumno.
•Favorece el carácter
interactivo del aprendizaje.
•Permite la
utilización de principios
heurísticos, que con
otros medios resultan
casi imposible de
aplicar, como es el caso de la
movilidad, la inducción, la generalización, entre otros. Utilización del
GeoGebra para reconocer
relaciones y dependencias,
así como para
su descubrimiento. Dos ejemplos ilustrativos en la enseñanza de
la matemática en club de nivelación.
Uno de los contenidos
que se estudian en segundo grado de la secundaria es la relación entre la
amplitud del ángulo central y de los ángulos inscritos a los que corresponde el
mismo arco que al ángulo central. Para la obtención de la proposición que establece
la relación entre estos ángulos, es necesario que el profesor compruebe los
conocimientos previos que tiene el alumno
y que sirven
de base para
la obtención del nuevo conocimiento.
Conocimientos previos: conceptos de radio, cuerda, ángulo central y
de ángulo inscrito, así como la relación entre la amplitud del ángulo central y
el arco correspondiente.
Una vez
reactivado los conocimientos
previos, el paso
siguiente, desde el
punto de vista
didáctico, es que
los alumnos reconozcan
que esa relación
existe. Para motivar
la necesidad de
buscar esa relación
se recomienda utilizar
de forma combinada
la analogía y
la búsqueda de relaciones y dependencias-aspectos de la
motivación matemática (Ballester, 2002) .
Para ello, a
partir de la
relación ya estudiada
entre la amplitud
del ángulo central
y del arco
correspondiente, pue-de preguntar
a los alumnos ¿sería posible entonces, que existiera alguna relación entre el
ángulo inscrito y el arco correspondiente? Para
que los alumnos
reconozcan que existe
realmente una relación
entre ambas amplitudes,
puede con ayuda
del GeoGebra y utilizando el principio heurístico de movilidad, que
consiste en dejar invariantes una parte de las condiciones del problema y
variar las restantes. Para ello, valiéndose
de la vista
gráfica del GeoGebra,
le orienta a
los alumnos que
construyan una circunferencia de centro
O y radio r
cualquiera. Para ello, pide a los alumnos que seleccionen el comando circunferencia en la barra de
herramientas, tal y como se muestra en la figura 1.
Figura 1. Trazado de la circunferencia y del ángulo inscrito correspondiente a
un ángulo central.
Dado que esta
circunferencia, por lo general tiene un centro
distinto, se le
pide renombrar el
centro, haciendo click
derecho en el
punto y seleccionando
la opción renombrar. Luego se
le pide situar
otro punto en
la circunferencia, utilizando
el comando punto y trazar
un ángulo central,
definiendo sus lados
con el comando
segmento y posteriormente se
le orienta situar
otro punto en la circunferencia, distinto
de los dos
anteriores, utilizando el
comando punto, y
acto seguido se
le pide trazar
las cuerdas que unen ese punto
con los dos puntos anteriores, utilizando el comando segmento, con lo cual
queda trazado el ángulo inscrito sobre el mismo arco que el ángulo central. Para
que el alumno pueda visualizar la relación entre ambos ángulos, se le pide
utilizar el comando mover punto, como se muestra en la figura, y se le pide
mover uno de los puntos que están en los lados del ángulo central, por ejemplo,
el punto B. Al mover ese
punto se puede
percatar que si
aumenta (disminuye) la amplitud
del arco correspondiente al ángulo
inscrito, también aumenta
(disminuye) la amplitud
del ángulo inscrito
correspondiente. Una vez
reconocido que existe una relación entre las amplitudes, entonces se puede
lograr que formulen sin dificultad el problema a resolver: buscar la relación
que existe entre un ángulo inscrito y el arco correspondiente (Figura 1).
Para que pueda
formular la relación, se le pide, utilizando el comando ángulo,
que indique la
amplitud del ángulo
central y la del ángulo inscrito correspondiente (que es la misma del
ángulo central), como se muestra en la figura 2, y que compare ambas amplitudes,
se le orienta utilizar la vista algebraica para que puedan ver con mayor claridad
que la amplitud del ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo
central y por consiguiente la mitad de la amplitud del arco correspondiente.
Figura 2. Vista algebraica y gráfica para
comparar las amplitudes del ángulo central y del ángulo inscrito
correspondiente.
Finalmente, se
le pide utilizar
nuevamente el comando
mover punto y
mover el punto
para que pueda
verificar que esta relación se
mantiene independientemente de la posición en que se encuentra el punto que se
mueve. De esta forma se puede pedir que formulen la correspondiente
proposición: Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene la mitad de la
amplitud del arco correspondientes
puede proceder de
forma análoga si
se desea que
los alumnos encuentren la relación entre el ángulo semiinscrito y
el arco correspondiente, trazando
la cuerda ,
utilizando el comando segmento y el comando rectas especiales, para
trazar la tangente
a la circunferencia por
los puntos A o B. Otro de los contenidos que se estudian en segundo
grado es el cálculo del área del círculo. Para ello se puede utilizar la
primera proposición de Arquímedes, que plantea: El área de un círculo es igual
a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados que comprenden el ángulo
recto es igual al radio, y el otro a la circunferencia, del círculo. El primer
paso para que
los alumnos puedan
encontrar la fórmula que permite
calcular el área del círculo, es reactivar
los conocimientos previos
que posee el
alumno: fórmulas para calcular el
área de un triángulo rectángulo y la longitud de una circunferencia. Para que
los alumnos puedan encontrar esta proposición utilizando el Geogebra, se les
pide que construyan una circunferencia de centro O y radio r cualquiera
utilizando el comando circunferencia. De esa forma se obtiene una
circunferencia y uno de sus puntos, que el alumno puede renombrar como lo
desee.
Luego se les pide que
indiquen la longitud y el área del círculo, utilizando el comando ángulos.
Seguidamente se les orienta que
definan el radio,
utilizando el comando segmento, para
después utilizando el
comando rectas perpendiculares, trazar una tangente a la
circunferencia-recta perpendicular al radio. El paso siguiente es trazar un
segmento, utilizando el comando segmento, sobre la recta perpendicular trazada,
a partir del punto de tangencia, que tenga la misma longitud que la
circunferencia, y finalmente, utilizar el comando polígonos, para definir el
triángulo rectángulo, cuyos catetos son el segmento trazado sobre la
perpendicular y que tiene la misma longitud de la circunferencia formada y el
radio de la circunferencia. Posteriormente con el comando ángulos, se indica el
área del triángulo. En la vista gráfica
el alumno puede comprobar que el área del círculo es igual a la del triángulo
formado, tal y como se muestra en la figura 3.
Figura 3. Vista gráfica y algebraica para obtener la fórmula del área del círculo
a partir del triángulo rectángulo de catetos
Para comprobar
que esto es
cierto, puede utilizando
el comando mover
punto, mover el
punto de contacto,
de modo que disminuya
(aumente) la longitud
del radio y
podrá verificar que el área de ambas figuras permanece invariable. Con la
ayuda del profesor, los alumnos, pueden deducir la fórmula para hallar el área
del círculo planteando la igualdad:
A círculo =
AΔAOB
Nótese que
se está utilizando
el mismo procedimiento
que utilizaban los
matemáticos de la
antigüedad para elaborar fórmulas de áreas de figuras
geométricas: comparación de áreas.
Es importante que el profesor haga referencia a ello.
Como el área de un
triángulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos, y el ∆AOB, tiene
como cateto el radio r y la longitud l de la circunferencia, entonces:
A círculo = 
(1)
(1)
pero como:
L= 2πr ,
(2)
Entonces:
A círculo = 
,
(3)
,
(3)
De donde se concluye
que:
A círculo =
(4)
(4)
Estos son
solo dos ejemplos
que ilustran cómo
el GeoGebra, más que una
herramienta para resolver ejercicios y problemas matemáticos, es un recurso
didáctico que puede utilizarse
para desarrollar la
creatividad del alumno en las clases de nivelación de
Matemáticas, que se expresa en la búsqueda y descubrimiento de los
conocimientos objeto de aprendizaje, a la vez que los familiariza con métodos
propios del quehacer matemático, evidenciándose así uno de los cambios
metodológicos aconsejables en la enseñanza de la matemática en el presente
milenio, hacer hincapié en la adquisición de los procesos típicos del
pensamiento matemático, pues como dijera (De Guzmán Ozámiz, 1993) la matemática es
sobre todo saber hacer, es una ciencia donde el método predomina sobre el
contenido.
3
conclusiones
El GeoGebra
es un elemento
mediador entre el
alumno y el
conocimiento matemático, objeto
de estudio, esta
relación puede describirse
mediante la tríada
alumno–GeoGebra–contenido. Este no es solo un recurso didáctico para
aplicar o comprobar lo aprendido, sino también, para descubrir nuevos
conocimientos bajo la guía del profesor, lo cual es un objetivo alcanzable en
la enseñanza de la matemática. Los ejemplos utilizados para ilustrar cómo este
software se puede utilizar en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la matemática
en el club de nivelación de la secundaria corroboran las ventajas de este
resumidas en el trabajo y enriquecen el lineamiento o idea clave para la
utilización de las tecnologías en la enseñanza de esta asignatura.
Referencias
González Sosa, J. V.,
Gutiérrez, R. D., & Sandoval Murcia, M. (2017). Desarrollo didáctico
con GeoGebra como herramienta para la enseñanza en aplicaciones de mecanismos
y diseño de maquinaria dentro de la ingeniería. XXIII Congreso Internacional
Anual de la SOMIM. Obtenido de
http://revistasomim.net/congreso2017/articulos/A5_175.pdf
Álvarez, M. (2014). El
proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. La Habana: pueblo y
educación.
Balles El GEOGEBRA: UNA HERRAMIENTA PARA EL CLUB DE
NIVELACION DE MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA.
Universidad Jean Piaget
Nicolás Bravo 400, M, Miguel Lerdo de Tejada # 599, Centro, 91700 Veracruz,
Ver.
ferferquimico@gmail.com
RESUMEN
En el Modelo Educativo
2017 hay un elemento que, en nuestro país es bastante novedoso: la “autonomía
curricular”, que corresponde a uno de los tres componentes que articulan los
nuevos planes y programas de estudios que responden a los intereses de sus
alumnos y de las propias fortalezas, capacidades y recursos institucionales y
que da respuesta a uno de los cinco ámbitos “profundización en la formación
académica”, entre ellas la nivelación de matemáticas.
En este sentido, el
software GeoGebra, se presenta como un candidato de extraordinario valor en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de matemáticas , ya que no solo permite
resolver de manera rápida y segura los más variados y diversos problemas que se
presentan en el aprendizaje de esta asignatura, sino también, porque es una
herramienta que permite estimular y desarrollar la creatividad de los alumnos
con dificultades de aprendizaje, al permitirle descubrir y construir los
conocimientos que son objeto de estudio. En este trabajo se ilustra cómo
utilizar esta herramienta tecnológica en la educación secundaria en los clubes
de nivelación de matemáticas, para reconocer, identificar y buscar nuevas
relaciones y dependencias entre entes matemáticos que constituyen objeto de
estudio en este nivel de enseñanza.
PALABRAS CLAVE: GeoGebra, nivelación de matemáticas, proceso
enseñanza-aprendizaje, secundaria.
1
INTRODUCCIÓN
En la Conferencia
Mundial sobre la Ciencia para el siglo XXI, auspiciada por la UNESCO y el
Consejo Internacional para la Ciencia, se declaraba: “Para que un país esté en
condiciones de atender a las necesidades fundamentales de su población, la
enseñanza de las ciencias y la tecnología es un imperativo estratégico. Como
parte de esa educación científica y tecnológica, los estudiantes deberían
aprender a resolver problemas concretos y a atender a las necesidades de la
sociedad, utilizando sus competencias y conocimientos científicos y
tecnológicos”. (Open Society Institute, 2002)
La utilización de las
competencias y conocimientos tecnológicos ha ocupado un lugar relevante en el
sistema de enseñanza, tanto para profesores como estudiantes, pues estos se
consideran como elementos mediadores en las relaciones: profesor–contenido,
estudiante–contenido y profesor–alumno (Bossolasco, 2013) . De especial importancia en la época
actual son estos conocimientos y competencias en el aprendizaje del estudiante.
En analogía con las concepciones de (Liátker, 1990) , en relación con la actividad y sus
componentes, podemos afirmar que en cualquier acto elemental del conocimiento
(aprendizaje) existe una tríada: sujeto–medio–contenido, donde el medio es el
núcleo de dicha tríada. En el aprendizaje de la matemática los medios tecnológicos,
tal y como señala (Álvarez, 2014) favorecen una penetración más profunda
en
el contenido que se estudia mediante una actividad matemática más experimental,
de búsqueda del conocimiento, de establecimiento de conexiones, pero además,
contribuyen a activar y motivar a los alumnos hacia el estudio. La introducción
de los medios tecnológicos conocidos como software (en particular, los software
libres, ) en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, pueden hacer
realidad una de las sugerencias didácticas ofrecidas por Puig Adam
(1959)-citado por (Rico & Sierra, 1994) en su Decálogo de la
Didáctica de la Matemática Media, referida a enseñar matemática guiando la
actividad descubridora del alumno, que más tarde denominara reinvención guiada
y que se erigiera en uno de los principios de la llamada Matemática Realista.
Estas sugerencias, encuentra en este software libre una forma de
materializarse, y más aún en los momentos actuales donde existe cierto consenso
en que la enseñanza no es un proceso de transmisión de conocimientos sino un
proceso de creación de las posibilidades para su construcción o descubrimiento (Freire, 2010) .
Características y
ventajas del GeoGebra que permiten su utilización en el proceso de enseñanza –
aprendizaje de la matemática en la secundaria.
El programa
GeoGebra fue ideado
por Markus Hohenwarter
en el marco
de su trabajo
de tesis de
Maestría, presentada en
el año 2002
en la Universidad
de Salzburgo, Austria.
Se esperaba lograr
un programa que reuniera las virtudes de los programas de
geometría dinámica, con las
de los sistemas
de cálculo simbólico.
El creador de
GeoGebra valoraba todos
estos recursos para
la enseñanza de
la matemática, pero
notaba que, para
el común de
los docentes, los
programas de cálculo
simbólico resultaban difíciles
de aprender, dada
la rigidez de
su sintaxis, y
que por esta
razón evitaban su
uso. Por otro lado, observaba que los docentes valoraban de mejor manera
los programas de geometría dinámica, ya que su interfaz facilitaba su
utilización. Así fue cómo surgió la idea
de crear GeoGebra. Rápidamente el
pro-grama fue ganando
popularidad en todo
el mundo y
un gran número de voluntarios se
fue sumando al proyecto desarrollando nuevas funcionalidades, materiales didácticos
interactivos, traduciendo tanto el software como su documentación a decenas de
idiomas, colaborando con nuevos usuarios a través del foro destinado para tal
fin. En la actualidad, existe una comunidad de docentes, investigadores,
desarrolladores de software, estudiantes y otras personas interesadas en la
temática, que se nuclean en los distintos Institutos GeoGebra locales que
articulan entre sí a través del Instituto GeoGebra Internacional.
El GeoGebra
es un software
interactivo de matemática
que reúne dinámicamente
geometría, álgebra y
cálculo. Hohenwarter (2014),
eligió GeoGebra con el atenuante
que el docente
pueda tener una
herramienta didáctica que ayude en el proceso de la educación, con
las consideraciones que el software a utilizar sea accesible, libre, de fácil
manipulación, que cuente con un proceso de instalación automático, sencillo y
que sea aceptado en todas las plataformas.
GeoGebra ofrece tres
perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una vista gráfica, una vista
numérica, vista algebraica y, además, una vista de hoja de cálculo.
Esta multiplicidad permite apreciar
los objetos matemáticos
en tres representaciones diferentes:
gráfica (como en el caso de puntos, gráficos de funciones),
algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdas de una hoja de
cálculo. Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las
demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios
producidos en cualquiera de ellas, más allá de cuál fuera la que lo creara
originalmente
En este trabajo se
exponen algunas ideas sobre la utilización del GeoGebra en las clases de
nivelación de matemáticas en la secundaria para propiciar, no solo, la búsqueda
de conocimientos matemáticos, sino también para que el alumno reconozca la
existencia de determinadas relaciones entre entes matemáticos que con su ayuda
puede descubrir.
2
DESARROLLO
Si bien es cierto que
los docentes reconocen las amplias posibilidades que ofrece el uso de este
software en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la matemática, no podemos
afirmar que su uso se haya generalizado y mucho menos que esto se haya
convertido en una práctica habitual en el desarrollo de las clases, lo que
obedece a múltiples razones, entre ellas se pueden mencionar: en primer lugar,
el miedo y la insuficiente preparación de los profesores para hacer uso de esta
herramienta tecnológica en sus clases, y en segundo lugar, el equipamiento
tecnológico con que actualmente cuentan los centros de enseñanza, el cual
resulta insuficiente y no siempre está en las mejores condiciones.
Al respecto, (Álvarez, 2014) , plantean: “Uno de
los asistentes matemáticos desarrollados como software libre más popular en los
últimos años es GeoGebra, un recurso escrito en Java y disponible en múltiples
plataformas. Este permite el dinamismo de las figuras geométricas, lo que
facilita analizar la variación o no de sus propiedades y relaciones al
modificarlas. Asimismo, posibilita examinar un objeto matemático en diferentes
registros de representación, por medio de la articulación de su interfaz
gráfica con una algebraica, una de cálculo simbólico y una hoja de cálculo, lo
que favorece el establecimiento de relaciones y una comprensión más profunda de
lo que se estudia”.(p. 27).
La versión 5 del
programa ofrece las siguientes vistas que se vinculan dinámicamente:
•Vista gráfica 2D:
En esta vista
se pueden realizar
construcciones geométricas utilizando
puntos, rectas, segmentos,
polígonos, cónicas, etc.
También se pueden
realizar operaciones tales
como intersección entre
objetos, traslaciones, rotaciones,
etc. Además, se
pueden graficar funciones,
curvas expresadas en
forma implícita, regiones
planas definidas mediante
desigualdades, etc.
•Vista algebraica: Allí se muestran las representaciones algebraicas
y numéricas de los objetos representados en las otras vistas del programa.
•Vista gráfica 3D: En esta vista se pueden representar, además de
los objetos mencionados para la vista gráfica 2D, planos, esferas, conos,
poliedros, funciones de dos variables.
•Vista CAS (Cálculo Simbólico): Permite realizar cálculos en forma
simbólica (derivadas, integrales, sistemas de ecuaciones, cálculo matricial,
etc.).
•Vista de Probabilidades y Estadística: Esta vista con-tiene representaciones de
diversas funciones de distribución
de probabilidad y permite calcular la probabilidad de
las mismas en
un determinado intervalo.
También ofrece una calculadora que permite realizar test estadísticos.
El GeoGebra cuenta con
un
manual de ayuda
elaborado por Markus Hohenwarter y Judith Hohenwarter (2009), el cual
ofrece indicaciones precisas para su utilización y que se puede obtener en el
sitio Web: www.geogebre.org. Varios
investigadores se han referido a las bondades de este software. ( González
Sosa, Gutiérrez, & Sandoval Murcia, 2017) consideran que
el GeoGebra contribuye
en muchos aspectos
a mejorar las
metodologías de enseñanza-aprendizaje y para la
solución de problemas
académicos proporcionando in-formación
valiosa en aspectos
gráficos, lo cual
genera interés en la aplicación de
esta herramienta para la resolución de problemas (García, 2014) considera que el
GeoGebra es un recurso tecnológico
que puede ser
utilizado en el
aprendizaje y que
debe ser incluido
en la planificación
de una clase
como material didáctico para el desarrollo de actividades. (Bonilla Guachamín, 2013) indica que gracias
a que GeoGebra
permite obtener el resultado del ejercicio de una función de forma rápida
y precisa, se
le comienza a
emplear después de sustentar la
teoría de cada concepto (recta, exponencial),
que se detallan
en el contenido
matemático para verificar
los resultados que
se obtienen al
resolver los ejercicios de forma
tradicional.
Márquez (1999),
indica que es
importante, que un conjunto
de técnicas dinámicas sea incluido como una marca competitiva en la práctica de
las matemáticas, pudiendo considerar a GeoGebra, ya que es un software libre y
de fácil manejo que permite trabajar contenidos de geometría, algebra y
análisis. (Del Pino, 2013) Le atribuye un lugar especial al
GeoGebra dentro del espectro de herramientas existentes para el aprendizaje,
por los motivos siguientes:
1. Es software
gratuito, libre y de código abierto. No les cuesta dinero a los centros
educativos y pueden modificar elementos para tener funcionalidades que no se
presentan en la versión estándar.
2. Es multiplataforma: funciona
tanto si emplean
una versión de
Linux propio de
la Comunidad Autónoma
como distintas versiones de Microsoft Windows.
3. Es fácil de
usar. Además, existen numerosas formaciones,
algunas de ellas gratuitas, impulsadas por colectivos de profesores y
universidades.
4. Es sencillo y a la
vez potente. Posee una hoja de cálculo y sus numerosas vistas permiten alternar
el uso de la aritmética, representaciones algebraicas, cálculo simbólico y
cálculo estadístico y probabilístico.
El GeoGebra tiene las mismas
ventajas de cualquier software educativo, pero sobresalen las siguientes:
•Se propician varios
tipos de aprendizaje que pueden ser individuales o grupales
•Fomenta la
creatividad: al retar
el aprendizaje, a
aplicar los conocimientos
y habilidades que
ya posibilita la
búsqueda y/o descubrimiento de
nuevos conocimientos.
•Facilita la
construcción de conocimiento por parte del alumno.
•Favorece el aprendizaje
autónomo y se ajusta al tiempo de que el aprendizaje puede disponer para esa
actividad.
•Permite el acceso al
conocimiento y a la participación de actividades.
•Incluyen elementos
para captar la atención del alumno.
•Favorece el carácter
interactivo del aprendizaje.
•Permite la
utilización de principios
heurísticos, que con
otros medios resultan
casi imposible de
aplicar, como es el caso de la
movilidad, la inducción, la generalización, entre otros. Utilización del
GeoGebra para reconocer
relaciones y dependencias,
así como para
su descubrimiento. Dos ejemplos ilustrativos en la enseñanza de
la matemática en club de nivelación.
Uno de los contenidos
que se estudian en segundo grado de la secundaria es la relación entre la
amplitud del ángulo central y de los ángulos inscritos a los que corresponde el
mismo arco que al ángulo central. Para la obtención de la proposición que establece
la relación entre estos ángulos, es necesario que el profesor compruebe los
conocimientos previos que tiene el alumno
y que sirven
de base para
la obtención del nuevo conocimiento.
Conocimientos previos: conceptos de radio, cuerda, ángulo central y
de ángulo inscrito, así como la relación entre la amplitud del ángulo central y
el arco correspondiente.
Una vez
reactivado los conocimientos
previos, el paso
siguiente, desde el
punto de vista
didáctico, es que
los alumnos reconozcan
que esa relación
existe. Para motivar
la necesidad de
buscar esa relación
se recomienda utilizar
de forma combinada
la analogía y
la búsqueda de relaciones y dependencias-aspectos de la
motivación matemática (Ballester, 2002) .
Para ello, a
partir de la
relación ya estudiada
entre la amplitud
del ángulo central
y del arco
correspondiente, pue-de preguntar
a los alumnos ¿sería posible entonces, que existiera alguna relación entre el
ángulo inscrito y el arco correspondiente? Para
que los alumnos
reconozcan que existe
realmente una relación
entre ambas amplitudes,
puede con ayuda
del GeoGebra y utilizando el principio heurístico de movilidad, que
consiste en dejar invariantes una parte de las condiciones del problema y
variar las restantes. Para ello, valiéndose
de la vista
gráfica del GeoGebra,
le orienta a
los alumnos que
construyan una circunferencia de centro O y radio r
cualquiera. Para ello, pide a los alumnos que seleccionen el comando circunferencia en la barra de
herramientas, tal y como se muestra en la figura 1.
Figura 1. Trazado de la circunferencia y del ángulo inscrito correspondiente a
un ángulo central.
Dado que esta
circunferencia, por lo general tiene un centro
distinto, se le
pide renombrar el
centro, haciendo click
derecho en el
punto y seleccionando
la opción renombrar. Luego se
le pide situar
otro punto en
la circunferencia, utilizando
el comando punto y trazar
un ángulo central,
definiendo sus lados
con el comando
segmento y posteriormente se
le orienta situar
otro punto en la circunferencia, distinto
de los dos
anteriores, utilizando el
comando punto, y
acto seguido se
le pide trazar
las cuerdas que unen ese punto
con los dos puntos anteriores, utilizando el comando segmento, con lo cual
queda trazado el ángulo inscrito sobre el mismo arco que el ángulo central. Para
que el alumno pueda visualizar la relación entre ambos ángulos, se le pide
utilizar el comando mover punto, como se muestra en la figura, y se le pide
mover uno de los puntos que están en los lados del ángulo central, por ejemplo,
el punto B. Al mover ese
punto se puede
percatar que si
aumenta (disminuye) la amplitud
del arco correspondiente al ángulo
inscrito, también aumenta
(disminuye) la amplitud
del ángulo inscrito
correspondiente. Una vez
reconocido que existe una relación entre las amplitudes, entonces se puede
lograr que formulen sin dificultad el problema a resolver: buscar la relación
que existe entre un ángulo inscrito y el arco correspondiente (Figura 1).
Para que pueda
formular la relación, se le pide, utilizando el comando ángulo,
que indique la
amplitud del ángulo
central y la del ángulo inscrito correspondiente (que es la misma del
ángulo central), como se muestra en la figura 2, y que compare ambas amplitudes,
se le orienta utilizar la vista algebraica para que puedan ver con mayor claridad
que la amplitud del ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo
central y por consiguiente la mitad de la amplitud del arco correspondiente.
Figura 2. Vista algebraica y gráfica para
comparar las amplitudes del ángulo central y del ángulo inscrito
correspondiente.
Finalmente, se
le pide utilizar
nuevamente el comando
mover punto y
mover el punto
para que pueda
verificar que esta relación se
mantiene independientemente de la posición en que se encuentra el punto que se
mueve. De esta forma se puede pedir que formulen la correspondiente
proposición: Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene la mitad de la
amplitud del arco correspondientes
puede proceder de
forma análoga si
se desea que
los alumnos encuentren la relación entre el ángulo semiinscrito y
el arco correspondiente, trazando
la cuerda ,
utilizando el comando segmento y el comando rectas especiales, para
trazar la tangente
a la circunferencia por
los puntos A o B. Otro de los contenidos que se estudian en segundo
grado es el cálculo del área del círculo. Para ello se puede utilizar la
primera proposición de Arquímedes, que plantea: El área de un círculo es igual
a un triángulo rectángulo en el que uno de los lados que comprenden el ángulo
recto es igual al radio, y el otro a la circunferencia, del círculo. El primer
paso para que
los alumnos puedan
encontrar la fórmula que permite
calcular el área del círculo, es reactivar
los conocimientos previos
que posee el
alumno: fórmulas para calcular el
área de un triángulo rectángulo y la longitud de una circunferencia. Para que
los alumnos puedan encontrar esta proposición utilizando el Geogebra, se les
pide que construyan una circunferencia de centro O y radio r cualquiera
utilizando el comando circunferencia. De esa forma se obtiene una
circunferencia y uno de sus puntos, que el alumno puede renombrar como lo
desee.
Luego se les pide que
indiquen la longitud y el área del círculo, utilizando el comando ángulos.
Seguidamente se les orienta que
definan el radio,
utilizando el comando segmento, para
después utilizando el
comando rectas perpendiculares, trazar una tangente a la
circunferencia-recta perpendicular al radio. El paso siguiente es trazar un
segmento, utilizando el comando segmento, sobre la recta perpendicular trazada,
a partir del punto de tangencia, que tenga la misma longitud que la
circunferencia, y finalmente, utilizar el comando polígonos, para definir el
triángulo rectángulo, cuyos catetos son el segmento trazado sobre la
perpendicular y que tiene la misma longitud de la circunferencia formada y el
radio de la circunferencia. Posteriormente con el comando ángulos, se indica el
área del triángulo. En la vista gráfica
el alumno puede comprobar que el área del círculo es igual a la del triángulo
formado, tal y como se muestra en la figura 3.
Figura 3. Vista gráfica y algebraica para obtener la fórmula del área del círculo
a partir del triángulo rectángulo de catetos
Para comprobar
que esto es
cierto, puede utilizando
el comando mover
punto, mover el
punto de contacto,
de modo que disminuya
(aumente) la longitud
del radio y
podrá verificar que el área de ambas figuras permanece invariable. Con la
ayuda del profesor, los alumnos, pueden deducir la fórmula para hallar el área
del círculo planteando la igualdad:
A círculo =
AΔAOB
Nótese que
se está utilizando
el mismo procedimiento
que utilizaban los
matemáticos de la
antigüedad para elaborar fórmulas de áreas de figuras
geométricas: comparación de áreas.
Es importante que el profesor haga referencia a ello.
Como el área de un
triángulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos, y el ∆AOB, tiene
como cateto el radio r y la longitud l de la circunferencia, entonces:
A círculo =
(1)
(1)
pero como:
L= 2πr ,
(2)
Entonces:
A círculo = ,
(3)
,
(3)
De donde se concluye
que:
A círculo =
(4)
(4)
Estos son
solo dos ejemplos
que ilustran cómo
el GeoGebra, más que una
herramienta para resolver ejercicios y problemas matemáticos, es un recurso
didáctico que puede utilizarse
para desarrollar la
creatividad del alumno en las clases de nivelación de
Matemáticas, que se expresa en la búsqueda y descubrimiento de los
conocimientos objeto de aprendizaje, a la vez que los familiariza con métodos
propios del quehacer matemático, evidenciándose así uno de los cambios
metodológicos aconsejables en la enseñanza de la matemática en el presente
milenio, hacer hincapié en la adquisición de los procesos típicos del
pensamiento matemático, pues como dijera (De Guzmán Ozámiz, 1993) la matemática es
sobre todo saber hacer, es una ciencia donde el método predomina sobre el
contenido.
3 CONCLUSIONES
El GeoGebra
es un elemento
mediador entre el
alumno y el
conocimiento matemático, objeto
de estudio, esta
relación puede describirse
mediante la tríada
alumno–GeoGebra–contenido. Este no es solo un recurso didáctico para
aplicar o comprobar lo aprendido, sino también, para descubrir nuevos
conocimientos bajo la guía del profesor, lo cual es un objetivo alcanzable en
la enseñanza de la matemática. Los ejemplos utilizados para ilustrar cómo este
software se puede utilizar en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la matemática
en el club de nivelación de la secundaria corroboran las ventajas de este
resumidas en el trabajo y enriquecen el lineamiento o idea clave para la
utilización de las tecnologías en la enseñanza de esta asignatura.
Referencias
González Sosa, J. V.,
Gutiérrez, R. D., & Sandoval Murcia, M. (2017). Desarrollo didáctico
con GeoGebra como herramienta para la enseñanza en aplicaciones de mecanismos
y diseño de maquinaria dentro de la ingeniería. XXIII Congreso Internacional
Anual de la SOMIM. Obtenido de
http://revistasomim.net/congreso2017/articulos/A5_175.pdf
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